$y = -x^2 + 2x$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = -x^2 + 2x$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 + 2x$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$y = 0$ とおくと、

$-x^2 + 2x = 0$

$x(-x + 2) = 0$

$x = 0, 2$

したがって、積分区間は $0 \le x \le 2$ となります。

次に、定積分を計算します。求める面積 $S$ は、

$S = \int_0^2 (-x^2 + 2x) dx$

$= \left[-\frac{1}{3}x^3 + x^2\right]_0^2$

$= \left(-\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2\right) - \left(-\frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2\right)$

$= -\frac{8}{3} + 4$

$= -\frac{8}{3} + \frac{12}{3}$

$= \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$