放物線 $y = x^2 - 1$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 1$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

求める面積は、$x$軸と放物線で囲まれた部分である。

まず、$x^2-1 = 0$を解いて、放物線と$x$軸との交点を求める。

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

積分区間は$-1 \le x \le 1$ である。

この区間では、$y = x^2 - 1 \le 0$ なので、面積 $S$ は次の積分で計算できる。

$S = - \int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx$

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 - x \right]_{-1}^{1}$

$S = - \left[ \left( \frac{1}{3}(1)^3 - 1 \right) - \left( \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) \right) \right]$

$S = - \left[ \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) \right]$

$S = - \left[ \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3} - 1 \right]$

$S = - \left[ \frac{2}{3} - 2 \right]$

$S = - \left[ \frac{2}{3} - \frac{6}{3} \right]$

$S = - \left[ -\frac{4}{3} \right]$

$S = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{4}{3}$