2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を通る直線で、以下の条件を満たすものを求める問題です。 (1) 直線 $2x + 5y = 0$ に平行な直線 (2) 直線 $2x + 5y = 0$ に垂直な直線

1. 問題の内容

2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を通る直線で、以下の条件を満たすものを求める問題です。

(1) 直線 $2x + 5y = 0$ に平行な直線

(2) 直線 $2x + 5y = 0$ に垂直な直線

2. 解き方の手順

まず、2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を求めます。

次に、(1)の条件を満たす直線を求めます。

最後に、(2)の条件を満たす直線を求めます。

**ステップ1: 交点の計算**

2つの直線の方程式を連立させて解きます。

$3x - 4y + 5 = 0$ (1)

$2x + y - 4 = 0$ (2)

(2)式より、$y = -2x + 4$ (3)

(3)式を(1)式に代入します。

$3x - 4(-2x + 4) + 5 = 0$

$3x + 8x - 16 + 5 = 0$

$11x - 11 = 0$

$11x = 11$

$x = 1$

$x = 1$を(3)式に代入します。

$y = -2(1) + 4$

$y = -2 + 4$

$y = 2$

したがって、2直線の交点は$(1, 2)$です。

**ステップ2: (1) 直線 $2x + 5y = 0$ に平行な直線を求める**

$2x + 5y = 0$に平行な直線は、$2x + 5y + k = 0$ (kは定数)と表せます。

この直線が交点$(1, 2)$を通るので、

$2(1) + 5(2) + k = 0$

$2 + 10 + k = 0$

$12 + k = 0$

$k = -12$

したがって、求める直線の方程式は$2x + 5y - 12 = 0$です。

**ステップ3: (2) 直線 $2x + 5y = 0$ に垂直な直線を求める**

$2x + 5y = 0$に垂直な直線は、$5x - 2y + k = 0$ (kは定数)と表せます。

この直線が交点$(1, 2)$を通るので、

$5(1) - 2(2) + k = 0$

$5 - 4 + k = 0$

$1 + k = 0$

$k = -1$

したがって、求める直線の方程式は$5x - 2y - 1 = 0$です。

3. 最終的な答え

(1) $2x + 5y - 12 = 0$

(2) $5x - 2y - 1 = 0$