与えられた二項分布に対して、期待値、分散、および標準偏差をそれぞれ求める問題です。具体的には、以下の3つの二項分布について計算を行います。 (1) $B(100, \frac{1}{4})$ (2) $B(36, \frac{2}{5})$ (3) $B(200, \frac{1}{3})$

1. 問題の内容

与えられた二項分布に対して、期待値、分散、および標準偏差をそれぞれ求める問題です。具体的には、以下の3つの二項分布について計算を行います。

(1) $B(100, \frac{1}{4})$

(2) $B(36, \frac{2}{5})$

(3) $B(200, \frac{1}{3})$

2. 解き方の手順

二項分布 $B(n, p)$ において、期待値$E(X)$、分散$V(X)$、標準偏差$\sigma(X)$は、それぞれ次の式で求められます。

* 期待値: $E(X) = np$

* 分散: $V(X) = np(1-p)$

* 標準偏差: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$

それぞれの二項分布について、上記の式を用いて計算します。

(1) $B(100, \frac{1}{4})$の場合:

* $E(X) = 100 \times \frac{1}{4} = 25$

* $V(X) = 100 \times \frac{1}{4} \times (1 - \frac{1}{4}) = 100 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{300}{16} = \frac{75}{4} = 18.75$

* $\sigma(X) = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$

(2) $B(36, \frac{2}{5})$の場合:

* $E(X) = 36 \times \frac{2}{5} = \frac{72}{5} = 14.4$

* $V(X) = 36 \times \frac{2}{5} \times (1 - \frac{2}{5}) = 36 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{216}{25} = 8.64$

* $\sigma(X) = \sqrt{\frac{216}{25}} = \frac{\sqrt{216}}{5} = \frac{6\sqrt{6}}{5} \approx 2.94$

(3) $B(200, \frac{1}{3})$の場合:

* $E(X) = 200 \times \frac{1}{3} = \frac{200}{3} \approx 66.67$

* $V(X) = 200 \times \frac{1}{3} \times (1 - \frac{1}{3}) = 200 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{400}{9} \approx 44.44$

* $\sigma(X) = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{9}} = \frac{20}{3} \approx 6.67$

3. 最終的な答え

(1) $B(100, \frac{1}{4})$:

* 期待値: 25

* 分散: 18.75

* 標準偏差: $\frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$

(2) $B(36, \frac{2}{5})$:

* 期待値: 14.4

* 分散: 8.64

* 標準偏差: $\frac{6\sqrt{6}}{5} \approx 2.94$

(3) $B(200, \frac{1}{3})$:

* 期待値: $\frac{200}{3} \approx 66.67$

* 分散: $\frac{400}{9} \approx 44.44$

* 標準偏差: $\frac{20}{3} \approx 6.67$