袋Aには1, 1, 2, 3の4枚のカード、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っている。袋Aから取り出したカードの数を $a$、袋Bから取り出したカードの数を $b$ とする。 (1) $a+b=2$ となる確率を求めよ。 (2) $a+b=3$ となる確率を求めよ。また、$a+b$ の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには1, 1, 2, 3の4枚のカード、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っている。袋Aから取り出したカードの数を $a$、袋Bから取り出したカードの数を $b$ とする。

(1) $a+b=2$ となる確率を求めよ。

(2) $a+b=3$ となる確率を求めよ。また、$a+b$ の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a+b=2$ となるのは、以下の組み合わせの場合である。

* $a=1, b=1$

袋Aで1を引く確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、袋Bで1を引く確率は $\frac{1}{4}$ である。

よって、$a+b=2$ となる確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

(2) $a+b=3$ となるのは、以下の組み合わせの場合である。

* $a=1, b=2$

* $a=2, b=1$

袋Aで1を引く確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、袋Bで2を引く確率は $\frac{1}{4}$ である。

袋Aで2を引く確率は $\frac{1}{4}$、袋Bで1を引く確率は $\frac{1}{4}$ である。

よって、$a+b=3$ となる確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$

$a$ と $b$ の取りうる値の組み合わせとその確率は以下の通り。

| a | b | a+b | 確率 |

|---|---|---|---|

| 1 | 1 | 2 | $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ |

| 1 | 2 | 3 | $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ |

| 1 | 3 | 4 | $\frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ |

| 2 | 1 | 3 | $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ |

| 2 | 2 | 4 | $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ |

| 2 | 3 | 5 | $\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{8}$ |

| 3 | 1 | 4 | $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ |

| 3 | 2 | 5 | $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ |

| 3 | 3 | 6 | $\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{8}$ |

$a+b$ の期待値は、

$2 \times \frac{1}{8} + 3 \times \frac{3}{16} + 4 \times (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}) + 5 \times (\frac{1}{8} + \frac{1}{16}) + 6 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 \times (\frac{4+1+1}{16}) + 5 \times \frac{3}{16} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + \frac{6}{4} + \frac{15}{16} + \frac{3}{4} = \frac{4+9+24+15+12}{16} = \frac{64}{16} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}$

(2) 確率: $\frac{3}{16}$, 期待値: 4