0から4までの数字が書かれたカードが2組、合計10枚ある。この10枚からカードを1枚ずつ3回取り出す。取り出したカードは元に戻さない。取り出した順に数字を $a, b, c$ とするとき、$N = 100a + 10b + c$ とする。このとき、$N < 10$ となる確率、$N < 100$ となる確率、$N < 123$ となる確率をそれぞれ求める。

## 問題71(1)の解説

1. 問題の内容

0から4までの数字が書かれたカードが2組、合計10枚ある。この10枚からカードを1枚ずつ3回取り出す。取り出したカードは元に戻さない。取り出した順に数字を $a, b, c$ とするとき、$N = 100a + 10b + c$ とする。このとき、$N < 10$ となる確率、$N < 100$ となる確率、$N < 123$ となる確率をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(ア) $N < 10$ となる場合

$N < 10$ となるのは、$a = 0$ かつ $b = 0$ かつ $c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ のときである。

まず、$a = 0$ となる確率は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ である。

次に、$b = 0$ となる確率は、$a=0$だったことを考慮すると $\frac{1}{9}$ である。

最後に、$c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ となる確率は、$a=0, b=0$だったことを考慮すると $\frac{8}{8} = 1$ (取りうるカードの残りは全て条件を満たす) または $c$ が $1,2,3,4$ のいずれかである確率は $a=0$が2枚とも取り出された場合 $\frac{2+2+2+2}{8} = \frac{8}{8} = 1$ である．

したがって、$N < 10$ となる確率は、

$\frac{2}{10} \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{8} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$

(イ) $N < 100$ となる場合

$N < 100$ となるのは、$a = 0$ のときである。

$a=0$ となる確率は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ である。

$b, c$ はどのような値でも $N < 100$ となるので、$b, c$ の条件を満たす確率はそれぞれ1である。

$b$ は残りの9枚から任意に選ぶので条件を満たす確率は $\frac{9}{9} = 1$ である。

$c$ は残りの8枚から任意に選ぶので条件を満たす確率は $\frac{8}{8} = 1$ である。

したがって、$N < 100$ となる確率は、

$\frac{2}{10} \times \frac{9}{9} \times \frac{8}{8} = \frac{1}{5} \times 1 \times 1 = \frac{1}{5} = \frac{18}{90} = \frac{2}{10}$

(ウ) $N < 123$ となる場合

$a = 0$ のとき、$b, c$ はどのような値でも $N < 123$ となる。この確率は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ である。

$a = 1$ のとき、$N = 100 + 10b + c$ であり、$10b + c < 23$ であれば $N < 123$ となる。

$a=1$ となる確率は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ である。

$b=0$ のとき、$c < 23$ より $c \in \{0, 2, 3, 4\}$ のいずれかであれば良い。

$a=1, b=0$ となる確率は $\frac{1}{5} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{45}$ であり、$c \in \{0, 2, 3, 4\}$ となる確率は $\frac{8}{8} = 1$ である.

$b=1$ のとき、$c < 13$ より $c \in \{0, 2, 3, 4\}$ のいずれかであれば良い。

$a=1, b=1$ となる確率は $\frac{1}{5} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{45}$ であり、$c \in \{0, 2, 3, 4\}$ となる確率は $\frac{8}{8} = 1$ である.

$b=2$ のとき、$c < 3$ より $c \in \{0, 2\}$ のいずれかであれば良い。

$a=1, b=2$ となる確率は $\frac{1}{5} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{45}$ であり、$c \in \{0, 2\}$ となる確率は $c$が0,2のうちのどれかであれば良いので確率は $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

したがって、$N < 123$ となる確率は、

$\frac{2}{10} + \frac{2}{10} \times (\frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} \times \frac{2}{8}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} (\frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} (\frac{4}{9} + \frac{1}{18}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} (\frac{8}{18} + \frac{1}{18}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \times \frac{9}{18} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

$N < 10$ となる確率は $\frac{1}{45}$

$N < 100$ となる確率は $\frac{1}{5}$

$N < 123$ となる確率は $\frac{3}{10}$