袋の中に赤球が2個、白球が4個入っている。この袋から同時に2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求める。表の空欄に当てはまる確率と、期待値を計算する。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が2個、白球が4個入っている。この袋から同時に2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求める。表の空欄に当てはまる確率と、期待値を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 赤球の個数が1個となる確率を求める。

全事象は、6個から2個を取り出す組み合わせなので、$_{6}C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

赤球1個、白球1個を取り出す組み合わせは、$_{2}C_{1} \times _{4}C_{1} = 2 \times 4 = 8$ 通り。

したがって、赤球の個数が1個となる確率は、$\frac{8}{15}$。

(2) 赤球の個数が2個となる確率を求める。

赤球2個を取り出す組み合わせは、$_{2}C_{2} = 1$ 通り。

したがって、赤球の個数が2個となる確率は、$\frac{1}{15}$。

(3) 確率の合計が1になることを確認する。

赤球の個数が0個である確率は$\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$。

赤球の個数が1個である確率は$\frac{8}{15}$。

赤球の個数が2個である確率は$\frac{1}{15}$。

合計は$\frac{6}{15} + \frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$。

(4) 赤球の個数の期待値を計算する。

期待値は、$0 \times \frac{6}{15} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) ア：8　イ：15

(2) ア：1　イ：15

期待値：$\frac{2}{3}$