袋の中に赤球が2個、白球が4個入っている。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の確率分布と、赤球の個数の期待値を求める問題です。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が2個、白球が4個入っている。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の確率分布と、赤球の個数の期待値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 赤球の個数が0個である確率

2個とも白球である確率を求める。

全事象は ${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

2個とも白球である場合は、${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

よって、確率は $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

(2) 赤球の個数が1個である確率

赤球1個、白球1個である確率を求める。

赤球1個の選び方は2通り。白球1個の選び方は4通り。

よって、確率は $\frac{2 \times 4}{15} = \frac{8}{15}$

(3) 赤球の個数が2個である確率

2個とも赤球である確率を求める。

2個とも赤球である場合は、${}_2 C_2 = 1$通り。

よって、確率は $\frac{1}{15}$

(4) 赤球の個数の期待値

期待値は、各赤球の個数とその確率の積の合計で求められる。

$0 \times \frac{2}{5} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5}$

(2) $\frac{8}{15}$

(3) $\frac{1}{15}$

(4) $\frac{2}{3}$