袋の中に赤球が2個、白球が4個入っている。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求める。表の空欄を埋め、期待値を計算する。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が2個、白球が4個入っている。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求める。表の空欄を埋め、期待値を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 赤球の個数が1個である確率を計算する。

全事象は、6個から2個を選ぶ組み合わせなので、${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

赤球1個、白球1個を選ぶ組み合わせは、${}_2 C_1 \times {}_4 C_1 = 2 \times 4 = 8$ 通り。

したがって、確率は $\frac{8}{15}$。

(2) 赤球の個数が2個である確率を計算する。

全事象は、6個から2個を選ぶ組み合わせなので、${}_6 C_2 = 15$ 通り。

赤球2個を選ぶ組み合わせは、${}_2 C_2 = 1$ 通り。

したがって、確率は $\frac{1}{15}$。

(3) 確率の合計は1なので、赤球の個数が0個である確率は $1 - \frac{2}{5} - \frac{8}{15} - \frac{1}{15} = 1 - \frac{6}{15} - \frac{8}{15} - \frac{1}{15} = \frac{15 - 6 - 8 - 1}{15} = \frac{0}{15} = \frac{0}{15}$

赤球の個数が0個である確率は $\frac{0}{15}$ なので白球2個を取り出す確率は$\frac{{}_4C_2}{{}_6C_2}$。よって、$\frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} = \frac{6}{15}=\frac{2}{5}$となる。よって、

$\frac{2}{5} + \frac{8}{15} + \frac{1}{15}$の答えは$\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$なので合計は$\frac{15}{15}=1$。

(4) 赤球の個数の期待値を計算する。

期待値 = (赤球0個の確率) $\times$ 0 + (赤球1個の確率) $\times$ 1 + (赤球2個の確率) $\times$ 2

= $\frac{2}{5} \times 0 + \frac{8}{15} \times 1 + \frac{1}{15} \times 2 = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{15}$

(2) $\frac{1}{15}$

(3) $\frac{2}{5}$

(4) $\frac{2}{3}$