2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係は

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

である。

$x^2 - 3x + 1 = 0$ において、$a = 1$, $b = -3$, $c = 1$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{1} = 3$

$\alpha \beta = \frac{1}{1} = 1$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2 \alpha \beta + \beta^2$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$

$\alpha + \beta = 3$ と $\alpha \beta = 1$ を代入して、

$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = 7$