$\sum_{k=1}^n (k^3 + 3k)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^n (k^3 + 3k)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

和の公式を利用して計算します。

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$\sum_{k=1}^n (k^3 + 3k) = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n 3k$

$= \sum_{k=1}^n k^3 + 3 \sum_{k=1}^n k$

$= \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{6n(n+1)}{4}$

$= \frac{n^2(n^2 + 2n + 1) + 6n^2 + 6n}{4}$

$= \frac{n^4 + 2n^3 + n^2 + 6n^2 + 6n}{4}$

$= \frac{n^4 + 2n^3 + 7n^2 + 6n}{4}$

$= \frac{n(n^3 + 2n^2 + 7n + 6)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n^3 + 2n^2 + 7n + 6)}{4}$