袋の中に赤球2個と白球4個が入っている。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数について、以下の問いに答える。 (1) 赤球が1個含まれる確率を求める。 (2) 赤球が2個含まれる確率を求める。 (3) 確率の合計を求める。 (4) 赤球の個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と白球4個が入っている。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数について、以下の問いに答える。

(1) 赤球が1個含まれる確率を求める。

(2) 赤球が2個含まれる確率を求める。

(3) 確率の合計を求める。

(4) 赤球の個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 赤球が1個含まれる確率

全事象は、6個の球から2個を選ぶ組み合わせなので、${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

赤球が1個、白球が1個の場合の数は、${}_2C_1 \times {}_4C_1 = 2 \times 4 = 8$通り。

よって、確率は $\frac{8}{15}$。

(2) 赤球が2個含まれる確率

全事象は、${}_6C_2 = 15$通り。

赤球が2個の場合の数は、${}_2C_2 = 1$通り。

よって、確率は $\frac{1}{15}$。

(3) 確率の合計

赤球が0個の確率が$\frac{2}{5}$、1個の確率が$\frac{8}{15}$、2個の確率が$\frac{1}{15}$なので、合計は$\frac{2}{5} + \frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$。

(4) 赤球の個数の期待値

期待値は、各赤球の個数にその確率を掛けたものの和で計算される。

赤球が0個の確率: $\frac{2}{5}$

赤球が1個の確率: $\frac{8}{15}$

赤球が2個の確率: $\frac{1}{15}$

期待値 $= 0 \times \frac{2}{5} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{15}$

(2) $\frac{1}{15}$

(3) 1

(4) $\frac{2}{3}$