放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) この放物線の頂点の座標を求めよ。 (2) この放物線を $x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) この放物線の頂点の座標を求めよ。

(2) この放物線を $x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるためには、まず与えられた放物線の方程式を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x - 1$

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

よって、頂点の座標は$(1, -3)$です。

(2) 放物線を $x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動すると、新しい放物線の方程式は、元の放物線の $x$ を $x - 2$ に、$y$ を $y + 1$ に置き換えることで得られます。

したがって、新しい放物線の方程式は

$y + 1 = 2((x - 2) - 1)^2 - 3$

$y + 1 = 2(x - 3)^2 - 3$

$y = 2(x - 3)^2 - 3 - 1$

$y = 2(x - 3)^2 - 4$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(1, -3)$

(2) 平行移動後の放物線の方程式：$y = 2x^2 - 12x + 14$