底面の半径が12cm、高さが16cmの円柱の容器に水がいっぱいに入っている。この容器に球を入れたところ、水がこぼれて球の一部だけが容器に入った。球が容器の上部から4cmの深さまで入ったとき、球の半径を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が12cm、高さが16cmの円柱の容器に水がいっぱいに入っている。この容器に球を入れたところ、水がこぼれて球の一部だけが容器に入った。球が容器の上部から4cmの深さまで入ったとき、球の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、こぼれた水の体積を計算します。これは、球が沈んだ部分の体積に等しいです。次に、球の半径を $r$ とおき、球が沈んだ部分の体積を $r$ を用いて表します。最後に、この体積がこぼれた水の体積に等しいことから、$r$ を求める方程式を解きます。

(1) こぼれた水の体積を計算します。球が沈んだことによってこぼれた水の体積は、球が沈んだ部分の体積に等しいです。球が沈んだ深さは4cmなので、こぼれた水の体積は、半径12cm、高さ4cmの円柱の体積に等しいです。

したがって、こぼれた水の体積 $V_水$ は、

$V_水 = \pi \times 12^2 \times 4 = 576\pi$ (cm$^3$)

(2) 球の半径を $r$ とおき、球が沈んだ部分の体積を $r$ を用いて表します。球が沈んだ部分は、球の冠と呼ばれる立体です。球の冠の体積 $V_冠$ は、球の半径 $r$ と球の冠の高さ $h$ を用いて、次の式で表されます。

$V_冠 = \frac{1}{3}\pi h^2 (3r - h)$

この問題では、$h = 4$ cmなので、

$V_冠 = \frac{1}{3}\pi \times 4^2 (3r - 4) = \frac{16}{3}\pi (3r - 4)$

(3) こぼれた水の体積と球が沈んだ部分の体積が等しいことから、$r$ を求める方程式を解きます。

$V_水 = V_冠$ なので、

$576\pi = \frac{16}{3}\pi (3r - 4)$

両辺を$\pi$で割って、

$576 = \frac{16}{3}(3r - 4)$

両辺に$\frac{3}{16}$を掛けて、

$576 \times \frac{3}{16} = 3r - 4$

$108 = 3r - 4$

$112 = 3r$

$r = \frac{112}{3}$

3. 最終的な答え

球の半径は $\frac{112}{3}$ cm です。