$xyz$空間に3点$A(1, 2, 3)$, $B(2, 4, 5)$, $C(3, -6, 1)$がある。 (1) 直線$AB$と$xy$平面の交点$D$の座標を求める。 (2) 点$C$から直線$AB$に下ろした垂線の足$H$の座標を求める。

1. 問題の内容

$xyz$空間に3点$A(1, 2, 3)$, $B(2, 4, 5)$, $C(3, -6, 1)$がある。

(1) 直線$AB$と$xy$平面の交点$D$の座標を求める。

(2) 点$C$から直線$AB$に下ろした垂線の足$H$の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線$AB$のベクトル方程式を求める。点$A$を通り、方向ベクトル$\vec{AB}$を持つ直線上の点を$P$とすると、

$\vec{AP} = t\vec{AB}$となる実数$t$が存在する。

ここで、$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (2, 4, 5) - (1, 2, 3) = (1, 2, 2)$なので、

$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB} = (1, 2, 3) + t(1, 2, 2) = (1+t, 2+2t, 3+2t)$.

点$P$の座標は$(1+t, 2+2t, 3+2t)$となる。

$xy$平面上の点は$z$座標が0であるから、$3+2t = 0$より、$t = -\frac{3}{2}$.

したがって、交点$D$の座標は

$(1-\frac{3}{2}, 2+2(-\frac{3}{2}), 3+2(-\frac{3}{2})) = (-\frac{1}{2}, -1, 0)$.

(2) 点$H$は直線$AB$上にあるので、(1)と同様に、$H(1+t, 2+2t, 3+2t)$と表せる。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = (1+t, 2+2t, 3+2t) - (3, -6, 1) = (t-2, 2t+8, 2t+2)$.

$\vec{CH}$と$\vec{AB}$が垂直であるから、$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$.

$(t-2, 2t+8, 2t+2) \cdot (1, 2, 2) = (t-2) + 2(2t+8) + 2(2t+2) = 0$

$t - 2 + 4t + 16 + 4t + 4 = 0$

$9t + 18 = 0$

$t = -2$

したがって、点$H$の座標は

$(1-2, 2+2(-2), 3+2(-2)) = (-1, -2, -1)$.

3. 最終的な答え

(1) $D(-\frac{1}{2}, -1, 0)$

(2) $H(-1, -2, -1)$