問題は、角 $A$ が鋭角であるという条件下で、与えられた $\cos A$ または $\sin A$ の値から、対応する $\sin A$ または $\cos A$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) $\cos A = \frac{1}{5}$ のときの $\sin A$ の値を求めます。 (2) $\cos A = \frac{1}{3}$ のときの $\sin A$ の値を求めます。 (3) $\sin A = \frac{3}{4}$ のときの $\cos A$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、角 $A$ が鋭角であるという条件下で、与えられた $\cos A$ または $\sin A$ の値から、対応する $\sin A$ または $\cos A$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。

(1) $\cos A = \frac{1}{5}$ のときの $\sin A$ の値を求めます。

(2) $\cos A = \frac{1}{3}$ のときの $\sin A$ の値を求めます。

(3) $\sin A = \frac{3}{4}$ のときの $\cos A$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

三角比の基本的な関係式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用します。

(1) $\cos A = \frac{1}{5}$ のとき、$\sin A$ を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$A$ が鋭角なので $\sin A > 0$。したがって、

$\sin A = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

ア：2

イ：6

ウ：5

(2) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin A$ を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$A$ が鋭角なので $\sin A > 0$。したがって、

$\sin A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

ア：2

イ：2

ウ：3

(3) $\sin A = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos A$ を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$A$ が鋭角なので $\cos A > 0$。したがって、

$\cos A = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

ア：7

イ：4

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

ア：2

イ：6

ウ：5

(2) $\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

ア：2

イ：2

ウ：3

(3) $\cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}$

ア：7

イ：4