$x$ と $y$ は実数とする。次の命題を証明する。 $x + y > 0 \implies (x > 0 \text{ または } y > 0)$

1. 問題の内容

$x$ と $y$ は実数とする。次の命題を証明する。

$x + y > 0 \implies (x > 0 \text{ または } y > 0)$

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明します。

元の命題の対偶は次のようになります。

$\neg (x > 0 \text{ または } y > 0) \implies \neg (x + y > 0)$

これは次のように書き換えられます。

$(x \leq 0 \text{ かつ } y \leq 0) \implies (x + y \leq 0)$

証明：

$x \leq 0$ かつ $y \leq 0$ を仮定します。

$x$ と $y$ は実数なので、$x + y$ も実数です。

$x \leq 0$ と $y \leq 0$ を足し合わせると、

$x + y \leq 0 + 0$

$x + y \leq 0$

したがって、$x \leq 0$ かつ $y \leq 0$ ならば $x + y \leq 0$ が成り立つことが証明されました。

対偶が真であるため、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

したがって、$x + y > 0 \implies (x > 0 \text{ または } y > 0)$ は証明されました。