円周率$\pi$が無理数であることを用いて、$\sqrt{\pi}$が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

円周率$\pi$が無理数であることを用いて、$\sqrt{\pi}$が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。$\sqrt{\pi}$が有理数であると仮定する。すると、ある整数$p, q$（$q \ne 0$）が存在して、

$$$$

\sqrt{\pi} = \frac{p}{q}

$$$$

と表せる。

両辺を2乗すると、

$$$$

\pi = \left(\frac{p}{q}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2}

$$$$

ここで、$p^2$と$q^2$も整数であるから、$p^2/q^2$は有理数となる。

しかし、これは$\pi$が無理数であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{\pi}$は有理数であるという仮定は誤りであり、$\sqrt{\pi}$は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{\pi}$は無理数である。