次の不等式を解きます。 (1) $(\frac{1}{7})^x > \frac{1}{49}$ (2) $3^{3x-1} > \frac{1}{9}$ (3) $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$ (4) $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

(1) $(\frac{1}{7})^x > \frac{1}{49}$

(2) $3^{3x-1} > \frac{1}{9}$

(3) $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$

(4) $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$

2. 解き方の手順

(1) $(\frac{1}{7})^x > \frac{1}{49}$

$\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$ なので、

$(\frac{1}{7})^x > (\frac{1}{7})^2$

$\frac{1}{7} < 1$ なので、指数部分の大小関係は不等号の向きが逆になります。

$x < 2$

(2) $3^{3x-1} > \frac{1}{9}$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$ なので、

$3^{3x-1} > 3^{-2}$

$3 > 1$ なので、指数部分の大小関係は不等号の向きは同じです。

$3x-1 > -2$

$3x > -1$

$x > -\frac{1}{3}$

(3) $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$

$\frac{1}{\sqrt[4]{27}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} = (\frac{1}{3})^{\frac{3}{4}}$ なので、

$(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{3})^{\frac{3}{4}}$

$\frac{1}{3} < 1$ なので、指数部分の大小関係は不等号の向きが逆になります。

$x < \frac{3}{4}$

(4) $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$

$\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ なので、

$(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{3})^3$

$\frac{1}{3} < 1$ なので、指数部分の大小関係は不等号の向きが逆になります。

$x < 3$

3. 最終的な答え

(1) $x < 2$

(2) $x > -\frac{1}{3}$

(3) $x < \frac{3}{4}$

(4) $x < 3$