底面の半径が12cm、高さが16cmの円柱の容器に水がいっぱいに入っている。この容器に球を入れたところ、水がこぼれて球の一部だけが容器に入った。球が容器の上部から4cmの深さまで入ったとき、球の半径を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が12cm、高さが16cmの円柱の容器に水がいっぱいに入っている。この容器に球を入れたところ、水がこぼれて球の一部だけが容器に入った。球が容器の上部から4cmの深さまで入ったとき、球の半径を求める。

2. 解き方の手順

- こぼれた水の体積は、球によって押しのけられた水の体積と等しい。

- こぼれた水の体積は、円柱の底面積$\pi r^2$と、球が入った深さ4cmの積で求められる。ここで$r=12$cm。

- したがって、こぼれた水の体積は$\pi (12)^2 (4) = 576\pi$ cm$^3$となる。

- 球の一部である球冠の体積の公式を用いる。球の半径を$R$、球冠の高さ（深さ）を$h$とすると、球冠の体積$V$は$V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$で表される。

- 問題文より$h = 4$cm、$V = 576\pi$cm$^3$なので、これを代入して$R$について解く。

- $576\pi = \frac{1}{3}\pi (4)^2 (3R - 4)$

- $576 = \frac{16}{3} (3R - 4)$

- $576 \times \frac{3}{16} = 3R - 4$

- $108 = 3R - 4$

- $112 = 3R$

- $R = \frac{112}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{112}{3}$ cm