与えられた式 $\frac{x-1}{x^2+x-2} + \frac{x-3}{x^2-x-6}$ を簡約化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x-1}{x^2+x-2} + \frac{x-3}{x^2-x-6}$ を簡約化せよ。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は $(x+2)(x-1)(x-3)$ です。

与えられた式を共通分母で書き換えます。

$\frac{x-1}{(x+2)(x-1)} + \frac{x-3}{(x-3)(x+2)} = \frac{(x-1)(x-3)}{(x+2)(x-1)(x-3)} + \frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+2)(x-1)}$

最初の分数を $\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}$ を $\frac{x-3}{(x-3)}$ で掛けます。

$\frac{(x-1)(x-3)}{(x+2)(x-1)(x-3)}$

2番目の分数を $\frac{x-3}{(x-3)(x+2)}$ を $\frac{x-1}{(x-1)}$ で掛けます。

$\frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+2)(x-1)}$

$\frac{x-1}{(x+2)(x-1)} + \frac{x-3}{(x-3)(x+2)} = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2}$

$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} = \frac{2}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{x+2}$