放物線 $y=x(2-x)$ と直線 $y=mx$ で囲まれた図形の面積が、放物線 $y=x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積の $\frac{1}{8}$ であるとき、定数 $m$ の値を求める問題です。ただし、$0<m<2$ とします。

1. 問題の内容

放物線 $y=x(2-x)$ と直線 $y=mx$ で囲まれた図形の面積が、放物線 $y=x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積の $\frac{1}{8}$ であるとき、定数 $m$ の値を求める問題です。ただし、$0<m<2$ とします。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y=x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。放物線と $x$ 軸の交点は $x=0, 2$ なので、この図形の面積は

$$S_1 = \int_0^2 x(2-x) dx = \int_0^2 (2x - x^2) dx = \left[x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

次に、放物線 $y=x(2-x)$ と直線 $y=mx$ の交点を求めます。

$x(2-x) = mx$ より $2x - x^2 = mx$ なので $x^2 + (m-2)x = 0$ となり、$x(x + m - 2) = 0$ となります。

よって、$x=0, 2-m$ が交点の $x$ 座標です。

放物線と直線で囲まれた図形の面積を $S_2$ とすると

$$S_2 = \int_0^{2-m} \{x(2-x) - mx\} dx = \int_0^{2-m} \{(2-m)x - x^2\} dx = \left[\frac{2-m}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_0^{2-m} = \frac{1}{2}(2-m)^3 - \frac{1}{3}(2-m)^3 = \frac{1}{6}(2-m)^3$$

問題文より $S_2 = \frac{1}{8}S_1$ なので、

$\frac{1}{6}(2-m)^3 = \frac{1}{8} \times \frac{4}{3}$

$\frac{1}{6}(2-m)^3 = \frac{1}{6}$

$(2-m)^3 = 1$

$2-m = 1$

$m = 1$

$0 < m < 2$ を満たすので、$m=1$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$m = 1$