$(a+b+c)^6$ の展開式における、以下の項の係数を求めよ。 (1) $a^3bc^2$ (2) $a^2b^2c^2$ (3) $a^2b^4$

1. 問題の内容

$(a+b+c)^6$ の展開式における、以下の項の係数を求めよ。

(1) $a^3bc^2$

(2) $a^2b^2c^2$

(3) $a^2b^4$

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。多項定理とは、

$(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n = \sum_{p_1+p_2+\cdots+p_m=n} \frac{n!}{p_1!p_2!\cdots p_m!}x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_m^{p_m}$

というものである。

(1) $a^3bc^2$ の係数を求める。$a^3bc^2$ は $a^3b^1c^2$ であるから、$p_1=3$, $p_2=1$, $p_3=2$ を上記の多項定理に代入する。

$\frac{6!}{3!1!2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(1)(2 \cdot 1)} = \frac{720}{12} = 60$

よって、$a^3bc^2$ の係数は60。

(2) $a^2b^2c^2$ の係数を求める。$p_1=2$, $p_2=2$, $p_3=2$ を上記の多項定理に代入する。

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{720}{8} = 90$

よって、$a^2b^2c^2$ の係数は90。

(3) $a^2b^4$ の係数を求める。$a^2b^4c^0$ であるから、$p_1=2$, $p_2=4$, $p_3=0$ を上記の多項定理に代入する。

$\frac{6!}{2!4!0!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)(1)} = \frac{720}{48} = 15$

よって、$a^2b^4$ の係数は15。

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) 90

(3) 15