(1) 分子が正の奇数で、分母が2の累乗である数列の一般項を求める問題です。数列は $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, ...$ です。 (2) 正の偶数 $2, 4, 6, 8, ...$ の数列で符号が交互に変わる数列の一般項を求める問題です。数列は $-2, 4, -6, 8, ...$ です。

1. 問題の内容

(1) 分子が正の奇数で、分母が2の累乗である数列の一般項を求める問題です。数列は $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, ...$ です。

(2) 正の偶数 $2, 4, 6, 8, ...$ の数列で符号が交互に変わる数列の一般項を求める問題です。数列は $-2, 4, -6, 8, ...$ です。

2. 解き方の手順

(1) 分子の数列は $1, 3, 5, 7, ...$ で、これは初項1、公差2の等差数列なので、一般項は $2n - 1$ となります。

分母の数列は $2, 4, 8, 16, ...$ で、これは2の累乗なので、一般項は $2^n$ となります。

したがって、数列全体の一般項は、分子を分母で割ったもの、つまり $\frac{2n-1}{2^n}$ となります。

(2) 偶数の数列 $2, 4, 6, 8, ...$ の一般項は $2n$ です。

符号が交互に変わることを表すために、$(-1)^n$ または $(-1)^{n+1}$ を掛けます。

初項が負であるため、$(-1)^n$ を掛けると $-2, 4, -6, 8, ...$ となるので、これが求めるものです。

したがって、数列全体の一般項は $(-1)^n \cdot 2n$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2n-1}{2^n}$

(2) $a_n = (-1)^n \cdot 2n$