与えられた式 $a^2b + a^2 - b - 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a^2 - b - 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を適切にグループ化して共通因数を見つけます。

最初の2項と最後の2項をグループ化すると、次のようになります。

$a^2b + a^2 - b - 1 = (a^2b + a^2) + (-b - 1)$

最初のグループから $a^2$ をくくり出すと、$a^2(b+1)$ となります。

次のグループから $-1$ をくくり出すと、$-(b+1)$ となります。

したがって、式は次のようになります。

$a^2(b+1) - (b+1)$

ここで、$(b+1)$ が共通因数であることに気づきます。

$(b+1)$ をくくり出すと、次のようになります。

$(a^2 - 1)(b+1)$

さらに、$a^2 - 1$ は平方の差であるため、因数分解できます。

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

したがって、元の式は次のように因数分解できます。

$(a - 1)(a + 1)(b+1)$

3. 最終的な答え

$(a - 1)(a + 1)(b + 1)$