与えられた回路において、抵抗 $R_1 = 15 \ \Omega$, $R_2 = 2 \ \Omega$, $R_3 = 10 \ \Omega$, 電源 $E_1 = 30 \ \text{V}$, $E_2 = 50 \ \text{V}$ のとき、電圧 $V$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた回路において、抵抗 $R_1 = 15 \ \Omega$, $R_2 = 2 \ \Omega$, $R_3 = 10 \ \Omega$, 電源 $E_1 = 30 \ \text{V}$, $E_2 = 50 \ \text{V}$ のとき、電圧 $V$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

キルヒホッフの法則を用いて解きます。

まず、各抵抗に流れる電流を仮定します。$R_1$に流れる電流を$I_1$, $R_2$に流れる電流を$I_2$, $R_3$に流れる電流を$I_3$とします。点aにおける電流の法則（キルヒホッフの第1法則）より、

$I_1 + I_2 = I_3$

次に、閉回路ごとに電圧降下の法則（キルヒホッフの第2法則）を適用します。

閉回路1 ($E_1$, $R_1$, $R_3$を含む回路):

$E_1 = R_1 I_1 + R_3 I_3$

$30 = 15 I_1 + 10 I_3$

$3 = 1.5 I_1 + I_3$

閉回路2 ($E_2$, $R_2$, $R_3$を含む回路):

$E_2 = R_2 I_2 + R_3 I_3$

$50 = 2 I_2 + 10 I_3$

$5 = 0.2 I_2 + I_3$

$I_3 = I_1 + I_2$を上記の2つの式に代入します。

$3 = 1.5 I_1 + (I_1 + I_2)$

$3 = 2.5 I_1 + I_2$

$5 = 0.2 I_2 + (I_1 + I_2)$

$5 = I_1 + 1.2 I_2$

この連立方程式を解きます。

$I_2 = 3 - 2.5 I_1$を$5 = I_1 + 1.2 I_2$に代入します。

$5 = I_1 + 1.2 (3 - 2.5 I_1)$

$5 = I_1 + 3.6 - 3 I_1$

$1.4 = -2 I_1$

$I_1 = -0.7 \ \text{A}$

$I_2 = 3 - 2.5 I_1 = 3 - 2.5(-0.7) = 3 + 1.75 = 4.75 \ \text{A}$

$I_3 = I_1 + I_2 = -0.7 + 4.75 = 4.05 \ \text{A}$

電圧 $V$ は、$R_3$に流れる電流と抵抗値の積で求められます。

$V = R_3 I_3 = 10 \ \Omega \times 4.05 \ \text{A} = 40.5 \ \text{V}$

3. 最終的な答え

$V = 40.5 \ \text{V}$