与えられた2変数多項式 $2x^2 + 3xy + y^2 - 10x - 7y + 12$ を因数分解することを試みます。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + 3xy + y^2 - 10x - 7y + 12$ を因数分解することを試みます。

2. 解き方の手順

与えられた多項式を因数分解するために、まず$x$に関する2次式と見て整理します。

$2x^2 + (3y - 10)x + (y^2 - 7y + 12)$

$y^2 - 7y + 12$ の部分を因数分解します。

$y^2 - 7y + 12 = (y - 3)(y - 4)$

与えられた式は、以下のようになります。

$2x^2 + (3y - 10)x + (y - 3)(y - 4)$

次に、$2x^2 + (3y - 10)x + (y - 3)(y - 4)$が $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定します。

係数を比較することを考えると、$(2x + ay + b)(x + cy + d)$の形になると考えられます。

定数項について考えると、$bd = (y-3)(y-4)$となるように定数を決めたいところですが、これは困難です。

多項式を$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形に因数分解できると仮定して、展開した結果と与えられた多項式を比較して係数を決定する方法を試みます。

$(2x+y+p)(x+y+q) = 2x^2 + 2xy + 2qx + xy + y^2 + qy + px + py + pq = 2x^2 + 3xy + y^2 + (2q+p)x + (q+p)y + pq$

ここで、

$2q+p = -10$

$q+p = -7$

$pq = 12$

という連立方程式を得ます。

上の2つの式から、$q=-3$ということがわかります。

このとき、$p=-4$

$pq = 12$が成立します。

したがって、因数分解の結果は $(2x+y-4)(x+y-3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 4)(x + y - 3)$