$x = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ , $y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$　とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $x$ の分母を有理化する。 (2) $x^2+y^2$ の値を求める。 (3) $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}$ の値を求める。 (4) $x+3y$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$2\sqrt{a}-b$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ , $y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$　とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $x$ の分母を有理化する。

(2) $x^2+y^2$ の値を求める。

(3) $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}$ の値を求める。

(4) $x+3y$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$2\sqrt{a}-b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の分母を有理化する。

$x = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ を掛けます。

$$x = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{7-5} = \frac{7-2\sqrt{35}+5}{2} = \frac{12-2\sqrt{35}}{2} = 6-\sqrt{35}$$

(2) $x^2+y^2$ の値を求める。

まず、$y$ を求めます。$y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{7}+\sqrt{5}$ を掛けます。

$$y = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{7-5} = \frac{7+2\sqrt{35}+5}{2} = \frac{12+2\sqrt{35}}{2} = 6+\sqrt{35}$$

$x^2 = (6-\sqrt{35})^2 = 36 - 12\sqrt{35} + 35 = 71 - 12\sqrt{35}$

$y^2 = (6+\sqrt{35})^2 = 36 + 12\sqrt{35} + 35 = 71 + 12\sqrt{35}$

したがって、

$x^2+y^2 = (71 - 12\sqrt{35}) + (71 + 12\sqrt{35}) = 142$

(3) $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}$ の値を求める。

$\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2}$

$x^3 = (6-\sqrt{35})^3 = (6-\sqrt{35})(71 - 12\sqrt{35}) = 426 - 71\sqrt{35} - 72\sqrt{35} + 12(35) = 426 - 143\sqrt{35} + 420 = 846 - 143\sqrt{35}$

$y^3 = (6+\sqrt{35})^3 = (6+\sqrt{35})(71 + 12\sqrt{35}) = 426 + 71\sqrt{35} + 72\sqrt{35} + 12(35) = 426 + 143\sqrt{35} + 420 = 846 + 143\sqrt{35}$

$x^3 + y^3 = (846 - 143\sqrt{35}) + (846 + 143\sqrt{35}) = 1692$

$x^2 y^2 = (xy)^2 = ((6-\sqrt{35})(6+\sqrt{35}))^2 = (36-35)^2 = 1^2 = 1$

$\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{1692}{1} = 1692$

(4) $x+3y$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$2\sqrt{a}-b$ の値を求める。

$x+3y = (6-\sqrt{35}) + 3(6+\sqrt{35}) = 6 - \sqrt{35} + 18 + 3\sqrt{35} = 24 + 2\sqrt{35} = 24 + \sqrt{4\times35} = 24 + \sqrt{140}$

$\sqrt{121} < \sqrt{140} < \sqrt{144}$ より $11 < \sqrt{140} < 12$ であるから $24+11 < 24 + \sqrt{140} < 24 + 12$, つまり $35 < x+3y < 36$

したがって、$a = 35$

$b = x+3y - a = (24 + 2\sqrt{35}) - 35 = 2\sqrt{35} - 11$

$2\sqrt{a}-b = 2\sqrt{35} - (2\sqrt{35}-11) = 2\sqrt{35} - 2\sqrt{35} + 11 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $6-\sqrt{35}$

(2) $142$

(3) $1692$

(4) $11$