与えられた等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) 第2項が6, 第4項が54 (2) 第5項が-9, 第7項が-27

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) 第2項が6, 第4項が54

(2) 第5項が-9, 第7項が-27

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とします。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号です。

与えられた条件から、第2項は $a_2 = ar = 6$、第4項は $a_4 = ar^3 = 54$ です。

$a_4$ を $a_2$ で割ると、$\frac{ar^3}{ar} = \frac{54}{6}$ より、

$r^2 = 9$ となります。

したがって、$r = \pm 3$ です。

$r=3$ のとき、$ar = 6$ より、$a = \frac{6}{3} = 2$ です。このとき、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ です。

$r=-3$ のとき、$ar = 6$ より、$a = \frac{6}{-3} = -2$ です。このとき、$a_n = -2 \cdot (-3)^{n-1}$ です。

(2) 同様に、等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とします。

与えられた条件から、第5項は $a_5 = ar^4 = -9$、第7項は $a_7 = ar^6 = -27$ です。

$a_7$ を $a_5$ で割ると、$\frac{ar^6}{ar^4} = \frac{-27}{-9}$ より、

$r^2 = 3$ となります。

したがって、$r = \pm \sqrt{3}$ です。

$r = \sqrt{3}$ のとき、$ar^4 = -9$ より、$a(\sqrt{3})^4 = -9$ ですから、$9a = -9$ となり、$a = -1$ です。このとき、$a_n = -1 \cdot (\sqrt{3})^{n-1} = -(\sqrt{3})^{n-1}$ です。

$r = -\sqrt{3}$ のとき、$ar^4 = -9$ より、$a(-\sqrt{3})^4 = -9$ ですから、$9a = -9$ となり、$a = -1$ です。このとき、$a_n = -1 \cdot (-\sqrt{3})^{n-1} = -(-\sqrt{3})^{n-1}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = -2 \cdot (-3)^{n-1}$

(2) $a_n = -(\sqrt{3})^{n-1}$ または $a_n = -(-\sqrt{3})^{n-1}$