与えられた対数方程式を解く問題です。 与えられた方程式は $\log_3{x} + \log_3{(4-x)} = 1$ です。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式を解く問題です。

与えられた方程式は $\log_3{x} + \log_3{(4-x)} = 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、左辺をまとめます。

対数の和は、真数のかけ算になるので、

$\log_3{x} + \log_3{(4-x)} = \log_3{x(4-x)}$

したがって、方程式は次のようになります。

$\log_3{x(4-x)} = 1$

次に、対数の定義を利用して、対数を取り除きます。

$\log_a{b} = c$ ならば、$a^c = b$

この定義を適用すると、

$3^1 = x(4-x)$

$3 = 4x - x^2$

次に、二次方程式を解きます。

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x-1)(x-3) = 0$

したがって、$x=1$ または $x=3$

最後に、対数の真数条件を確認します。

$\log_3{x}$ が定義されるためには $x>0$ が必要です。

$\log_3{(4-x)}$ が定義されるためには $4-x>0$ つまり $x<4$ が必要です。

$x=1$ と $x=3$ はどちらも $0<x<4$ を満たすので、どちらも解として有効です。

3. 最終的な答え

$x = 1, 3$