(1) 関数 $f(x) = x^2 - 10x + c$ ($3 \leq x \leq 8$) の最大値が 10 であるように、定数 $c$ の値を定める。 (2) 関数 $f(x) = -x^2 + 4x + c$ ($-4 \leq x \leq 4$) の最小値が -50 であるように、定数 $c$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^2 - 10x + c$ ($3 \leq x \leq 8$) の最大値が 10 であるように、定数 $c$ の値を定める。

(2) 関数 $f(x) = -x^2 + 4x + c$ ($-4 \leq x \leq 4$) の最小値が -50 であるように、定数 $c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-5)^2 - 25 + c$

軸は $x=5$ で、定義域 $3 \leq x \leq 8$ に含まれる。

$f(x)$ は $x=5$ で最小値を取り、$x=3$ または $x=8$ で最大値を取る。

$f(3) = 3^2 - 10 \cdot 3 + c = 9 - 30 + c = c - 21$

$f(8) = 8^2 - 10 \cdot 8 + c = 64 - 80 + c = c - 16$

$f(3) < f(8)$ より、$x=8$ で最大値を取る。

$f(8) = c - 16 = 10$

$c = 26$

(2)

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 4x) + c = -(x-2)^2 + 4 + c$

軸は $x=2$ で、定義域 $-4 \leq x \leq 4$ に含まれる。

$f(x)$ は $x=2$ で最大値を取り、$x=-4$ で最小値を取る。

$f(-4) = -(-4)^2 + 4 \cdot (-4) + c = -16 - 16 + c = c - 32$

$f(-4) = c - 32 = -50$

$c = -18$

3. 最終的な答え

(1) $c = 26$

(2) $c = -18$