等式 $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

等式 $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた等式 $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ を変形して、$a$ と $b$ を求めます。

まず、右辺を通分します。

$$\frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} = \frac{a(x+1) + bx}{x(x+1)} = \frac{ax + a + bx}{x(x+1)} = \frac{(a+b)x + a}{x(x+1)}$$

したがって、

$$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(a+b)x + a}{x(x+1)}$$

この式が $x$ についての恒等式であるためには、分子が等しくなければなりません。

$$1 = (a+b)x + a$$

この式が恒等式であるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

$$a+b = 0$$

$$a = 1$$

$a = 1$ を $a+b = 0$ に代入すると、

$$1 + b = 0$$

$$b = -1$$

したがって、$a = 1$, $b = -1$ です。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -1$