与えられた連立一次同次方程式の解が存在するかどうかを判定し、存在する場合はその解を求める。また、解の自由度（解の表現に必要な任意定数の個数）を求める。 連立一次同次方程式は以下の通り。 $x_1 + 4x_2 + 9x_3 + 3x_4 - 11x_5 = 0$ $5x_1 - x_2 + 3x_3 + 2x_4 + 24x_5 = 0$ $2x_1 + 3x_2 + 8x_3 + 6x_4 + 3x_5 = 0$ $-3x_1 + x_2 - x_3 - 14x_5 = 0$

1. 問題の内容

与えられた連立一次同次方程式の解が存在するかどうかを判定し、存在する場合はその解を求める。また、解の自由度（解の表現に必要な任意定数の個数）を求める。

連立一次同次方程式は以下の通り。

$x_1 + 4x_2 + 9x_3 + 3x_4 - 11x_5 = 0$

$5x_1 - x_2 + 3x_3 + 2x_4 + 24x_5 = 0$

$2x_1 + 3x_2 + 8x_3 + 6x_4 + 3x_5 = 0$

$-3x_1 + x_2 - x_3 - 14x_5 = 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式の係数行列を作成します。

$A = \begin{pmatrix}

1 & 4 & 9 & 3 & -11 \\

5 & -1 & 3 & 2 & 24 \\

2 & 3 & 8 & 6 & 3 \\

-3 & 1 & -1 & 0 & -14

\end{pmatrix}$

次に、この係数行列を簡約化して階数を求めます。簡約化には行基本変形を用います。

1. 2行目を（2行目 - 5 * 1行目）に置き換える

2. 3行目を（3行目 - 2 * 1行目）に置き換える

3. 4行目を（4行目 + 3 * 1行目）に置き換える

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & 9 & 3 & -11 \\

0 & -21 & -42 & -13 & 79 \\

0 & -5 & -10 & 0 & 25 \\

0 & 13 & 26 & 9 & -47

\end{pmatrix}$

次に、3行目を (-1/5)倍する

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & 9 & 3 & -11 \\

0 & -21 & -42 & -13 & 79 \\

0 & 1 & 2 & 0 & -5 \\

0 & 13 & 26 & 9 & -47

\end{pmatrix}$

次に、2行目を（2行目 + 21 * 3行目）に置き換える

次に、4行目を（4行目 - 13 * 3行目）に置き換える

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & 9 & 3 & -11 \\

0 & 0 & 0 & -13 & -26 \\

0 & 1 & 2 & 0 & -5 \\

0 & 0 & 0 & 9 & 18

\end{pmatrix}$

次に、2行目と3行目を入れ替える

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & 9 & 3 & -11 \\

0 & 1 & 2 & 0 & -5 \\

0 & 0 & 0 & -13 & -26 \\

0 & 0 & 0 & 9 & 18

\end{pmatrix}$

次に、3行目を (-1/13)倍する

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & 9 & 3 & -11 \\

0 & 1 & 2 & 0 & -5 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 9 & 18

\end{pmatrix}$

次に、1行目を（1行目 - 3 * 3行目）に置き換える

次に、4行目を（4行目 - 9 * 3行目）に置き換える

$\begin{pmatrix}

1 & 4 & 9 & 0 & -17 \\

0 & 1 & 2 & 0 & -5 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

次に、1行目を（1行目 - 4 * 2行目）に置き換える

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 2 & 0 & -5 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

簡約化された行列の階数は3です。変数の数は5なので、解の自由度は 5 - 3 = 2 です。

$x_3$ = s, $x_5$ = t とおくと、

$x_1 = -s - 3t$

$x_2 = -2s + 5t$

$x_4 = -2t$

したがって、解は

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

解は存在し、解は

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

ここで、sとtは任意の実数。

解の自由度は2。