$x-6, x, y$ がこの順で等比数列であり、$x-9, x, y-x$ がこの順で等差数列である。ただし、$x > 6$, $y > 0$, $x, y$ は実数である。$x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x-6, x, y$ がこの順で等比数列であり、$x-9, x, y-x$ がこの順で等差数列である。ただし、$x > 6$, $y > 0$, $x, y$ は実数である。$x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x-6, x, y$ が等比数列であることから、以下の式が成り立つ。

$\frac{x}{x-6} = \frac{y}{x}$

これから、$x^2 = y(x-6)$ が得られる。

次に、$x-9, x, y-x$ が等差数列であることから、以下の式が成り立つ。

$x - (x-9) = (y-x) - x$

これから、$9 = y - 2x$ が得られる。つまり、$y = 2x + 9$ である。

$y = 2x+9$ を $x^2 = y(x-6)$ に代入する。

$x^2 = (2x+9)(x-6)$

$x^2 = 2x^2 - 12x + 9x - 54$

$x^2 - 3x - 54 = 0$

$(x-9)(x+6) = 0$

$x > 6$ より、$x=9$ が得られる。

$y = 2x + 9 = 2(9) + 9 = 18 + 9 = 27$

3. 最終的な答え

$x = 9$

$y = 27$