2次方程式 $x^2 - 2kx - k + 2 = 0$ が与えられています。この方程式が以下の条件を満たすときの $k$ の範囲を求めます。 (9) 2つの異なる正の解を持つ (10) 正の解と負の解を1つずつ持つ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2kx - k + 2 = 0$ が与えられています。この方程式が以下の条件を満たすときの $k$ の範囲を求めます。

(9) 2つの異なる正の解を持つ

(10) 正の解と負の解を1つずつ持つ

2. 解き方の手順

(9) 2つの異なる正の解を持つ場合:

2つの異なる正の解を持つためには、以下の3つの条件が必要です。

(i) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(ii) 解の和 $> 0$ (2つの解が正である)

(iii) 解の積 $> 0$ (2つの解が正である)

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2k)^2 - 4(1)(-k+2) = 4k^2 + 4k - 8 = 4(k^2 + k - 2) = 4(k+2)(k-1)$

$D > 0$ より、 $4(k+2)(k-1) > 0$ なので、 $k < -2$ または $k > 1$

次に、解の和を計算します。解の和は $2k$ です。

$2k > 0$ より、 $k > 0$

最後に、解の積を計算します。解の積は $-k+2$ です。

$-k+2 > 0$ より、 $k < 2$

3つの条件を満たす $k$ の範囲は、$1 < k < 2$ です。

(10) 正の解と負の解を1つずつ持つ場合:

正の解と負の解を1つずつ持つためには、解の積が負であれば良いです。

解の積は $-k+2$ なので、 $-k+2 < 0$

$-k < -2$ より、$k > 2$

3. 最終的な答え

(9) $1 < k < 2$

(10) $k > 2$