正四角錐O-ABCDについて、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) 正四角錐の表面積を求める。 (2) 正四角錐の体積を求める。 ただし、底面の一辺の長さは4cm、側面の三角形の高さ(母線)は6cmとします。

1. 問題の内容

正四角錐O-ABCDについて、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) 正四角錐の表面積を求める。

(2) 正四角錐の体積を求める。

ただし、底面の一辺の長さは4cm、側面の三角形の高さ(母線)は6cmとします。

2. 解き方の手順

(1) 表面積を求める

正四角錐の表面積は、底面の正方形の面積と、側面の三角形4つの面積の和で求められます。

* 底面の正方形の面積を計算します。

一辺の長さが4cmなので、面積は $4 \times 4 = 16$ 平方cmです。

* 側面の三角形の面積を計算します。

底辺の長さは4cm、高さは6cmなので、面積は $(1/2) \times 4 \times 6 = 12$ 平方cmです。

* 側面の三角形は4つあるので、合計の面積は $12 \times 4 = 48$ 平方cmです。

* 表面積は、底面の面積と側面の面積の合計なので、$16 + 48 = 64$ 平方cmです。

(2) 体積を求める

正四角錐の体積は、底面積と高さを用いて、以下の式で求められます。

$V = (1/3) \times \text{底面積} \times \text{高さ}$

* 底面積は(1)で求めた通り、$4 \times 4 = 16$ 平方cmです。

* 高さを計算する必要があります。正四角錐の中心から頂点Oまでの距離が高さです。

底面の正方形の中心をEとします。三角形OAEを考えると、これは直角三角形です。

OAは6cmで、AEは底面の正方形の一辺の半分である2cmです。したがって、OEの長さを計算できます。

$OE^2 + AE^2 = OA^2$

$OE^2 + 2^2 = 6^2$

$OE^2 + 4 = 36$

$OE^2 = 32$

$OE = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm

よって、高さは$4\sqrt{2}$ cmです。

* 体積を計算します。

$V = (1/3) \times 16 \times 4\sqrt{2} = (64\sqrt{2})/3$ 立方cm

3. 最終的な答え

(1) 正四角錐の表面積：64 平方cm

(2) 正四角錐の体積：$\frac{64\sqrt{2}}{3}$ 立方cm