起電力 $E=50$ [V]、内部抵抗 $R_0 = 1$ [Ω] の直流電源に、抵抗 $R$ [Ω] を接続した回路において、$R$ で消費される電力が最大となる時の $R$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

起電力 $E=50$ [V]、内部抵抗 $R_0 = 1$ [Ω] の直流電源に、抵抗 $R$ [Ω] を接続した回路において、$R$ で消費される電力が最大となる時の $R$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1：回路に流れる電流 $I$ を求める。

回路に流れる電流 $I$ は、オームの法則より以下の式で表される。

$I = \frac{E}{R_0 + R}$

ステップ2：抵抗 $R$ で消費される電力 $P$ を求める。

抵抗 $R$ で消費される電力 $P$ は、以下の式で表される。

$P = I^2 R$

ステップ3：電力 $P$ を $R$ の関数として表す。

ステップ1で求めた電流 $I$ の式をステップ2の電力 $P$ の式に代入する。

$P = (\frac{E}{R_0 + R})^2 R$

$P = \frac{E^2 R}{(R_0 + R)^2}$

ステップ4：電力 $P$ が最大となる $R$ の条件を求める。

電力 $P$ が最大となる $R$ を求めるには、$P$ を $R$ で微分し、それが0になる $R$ を求めれば良い。

$\frac{dP}{dR} = \frac{E^2 (R_0 + R)^2 - E^2 R \cdot 2(R_0 + R)}{(R_0 + R)^4} = 0$

分子のみに着目すると、

$E^2 (R_0 + R)^2 - 2E^2 R (R_0 + R) = 0$

$E^2 (R_0 + R) [(R_0 + R) - 2R] = 0$

$E^2 (R_0 + R) (R_0 - R) = 0$

$R_0 + R > 0$ より、$R_0 - R = 0$ となる必要がある。

したがって、$R = R_0$

ステップ5：値を代入して $R$ の値を求める。

問題文より、$R_0 = 1$ [Ω] であるので、

$R = 1$ [Ω]

3. 最終的な答え

$R = 1$ [Ω]