関数 $f(x) = (2x+1)e^x$ のグラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x+1)e^x$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

グラフの概形を描くために、以下の手順で解析を行います。

(1) 定義域：$f(x)$ は全ての $x$ で定義されるので、定義域は実数全体です。

(2) $x$切片と$y$切片：

* $y$切片：$x=0$ のとき、$f(0)=(2\cdot 0 + 1)e^0=1$ 。よって、$y$切片は $(0, 1)$。

* $x$切片：$f(x)=0$ を解く。$f(x)=(2x+1)e^x=0$ より、$2x+1=0$ となるので、$x=-\frac{1}{2}$。よって、$x$切片は $(-\frac{1}{2}, 0)$。

(3) 極値：$f'(x)$ を計算し、増減を調べます。

$f'(x) = 2e^x + (2x+1)e^x = (2x+3)e^x$

$f'(x)=0$ となるのは $2x+3=0$ より、$x=-\frac{3}{2}$。

$x < -\frac{3}{2}$ のとき、$f'(x) < 0$ であり、$x > -\frac{3}{2}$ のとき、$f'(x) > 0$。

したがって、$x = -\frac{3}{2}$ で極小値をとり、極小値は $f(-\frac{3}{2}) = (2(-\frac{3}{2})+1)e^{-\frac{3}{2}} = (-3+1)e^{-\frac{3}{2}} = -2e^{-\frac{3}{2}} = -\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}} \approx -\frac{2}{4.48} \approx -0.446$。

(4) 漸近線：$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to 0$ であるため、$x$軸($y=0$)が漸近線となる可能性があります。

$x \to -\infty$のとき、 $2x+1$ は負の方向に無限大に発散し、$e^x$ は 0 に収束します。この時、$f(x) = (2x+1)e^x = \frac{2x+1}{e^{-x}}$ と書けます。ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} -2e^x = 0$

したがって、$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to 0$ であり、$y=0$ が漸近線です。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$ となります。

(5) グラフの概形：

$x=-\frac{3}{2}$ で極小値 $-\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}}$ をとり、$x=-\frac{1}{2}$ で $x$軸と交わり、$x \to -\infty$ で $y=0$ に漸近し、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散するグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形:

* $y$切片は $(0, 1)$

* $x$切片は $(-\frac{1}{2}, 0)$

* 極小値は $x = -\frac{3}{2}$ で $-\frac{2}{e^{\frac{3}{2}}}$

* $x \to -\infty$ で $y=0$ に漸近

* $x \to \infty$ で $\infty$ に発散

（グラフはここに描けないため、上記の特徴に基づき自分でグラフを描いてください。）