円Oの周上に2点B, Cがあり、点Bを通る接線と点Cからその接線に下ろした垂線の交点をHとする。線分CHと円Oの交点をDとする。AB=BD、ACは円Oの直径、AC=8、∠CBH=60°である。四角形ABDCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円Oの周上に2点B, Cがあり、点Bを通る接線と点Cからその接線に下ろした垂線の交点をHとする。線分CHと円Oの交点をDとする。AB=BD、ACは円Oの直径、AC=8、∠CBH=60°である。四角形ABDCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の半径を求める。ACは直径なので、半径は$AC/2 = 8/2 = 4$。

(2) ∠ABCを求める。ACが直径なので、∠ABC = 90°。

(3) ∠ABHを求める。∠CBH = 60°、∠ABC = 90°より、∠ABH = 180° - 90° - 60° = 30°。

(4) ∠ACBを求める。∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - (60°+30°) = 30°。よって、∠ACB = 90° - ∠BAC = 90° - 30° = 60°。

(5) ∠ADBを求める。AB=BDなので、△ABDは二等辺三角形である。∠BAD = ∠BDA。また、∠ABD = 180° - ∠ABH = 180° - 30° = 150°。∠BAD + ∠BDA = 180° - 150° = 30°なので、∠BAD = ∠BDA = 15°。

(6) ∠BCDを求める。円周角の定理より、∠CAD = ∠CBD。∠CAD = ∠BAD = 15°。∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = 60° - ∠CAD = 60° - 15° = 45°。

(7) ∠ADCを求める。四角形ABDCは円に内接する四角形なので、∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 90° = 90°。

(8) △ABCの面積を求める。

$AB = AC\cos(30^\circ) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

$BC = AC\sin(30^\circ) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 4 = 8\sqrt{3}$

(9) △ABDの面積を求める。

$AB = 4\sqrt{3}$

$\angle ABD = 150^\circ$

$S_{ABD} = \frac{1}{2}AB \cdot BD \sin(150^\circ) = \frac{1}{2}(4\sqrt{3})(4\sqrt{3}) \sin(150^\circ) = \frac{1}{2}(16\times3)\frac{1}{2} = 12$.

(10) 四角形ABDCの面積を求める。

$S_{ABDC} = S_{ABC} + S_{ABD} = 8\sqrt{3} + 12 = 12 + 8\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

$12 + 8\sqrt{3}$