$a > 0, b > 0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x > 0$ の部分に点 $P$ をとる。点 $P(p, q)$ における接線と漸近線との2交点を、$y$ 座標の大きい方から順に $A, B$ とするとき、点 $A$ と点 $B$ の座標を $a, b, p, q$ で表す。

1. 問題の内容

$a > 0, b > 0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x > 0$ の部分に点 $P$ をとる。点 $P(p, q)$ における接線と漸近線との2交点を、$y$ 座標の大きい方から順に $A, B$ とするとき、点 $A$ と点 $B$ の座標を $a, b, p, q$ で表す。

2. 解き方の手順

点 $P(p, q)$ における接線の方程式は $\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$ である。

また、漸近線の方程式は $y = \pm \frac{b}{a}x$ である。

接線の方程式と漸近線の方程式から $y$ を消去することを考える。

まず、$y = \frac{b}{a}x$ の場合を考える。

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2} (\frac{b}{a}x) = 1$

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{ab}x = 1$

$\frac{bpx - aqx}{a^2b} = 1$

$(bp - aq)x = a^2b$

$x = \frac{a^2b}{bp - aq}$

このとき、 $y = \frac{b}{a} (\frac{a^2b}{bp - aq}) = \frac{ab^2}{bp - aq}$

次に、$y = -\frac{b}{a}x$ の場合を考える。

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2} (-\frac{b}{a}x) = 1$

$\frac{px}{a^2} + \frac{q}{ab}x = 1$

$\frac{bpx + aqx}{a^2b} = 1$

$(bp + aq)x = a^2b$

$x = \frac{a^2b}{bp + aq}$

このとき、 $y = -\frac{b}{a} (\frac{a^2b}{bp + aq}) = -\frac{ab^2}{bp + aq}$

双曲線上の点 $P(p, q)$ は $\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ を満たす。

$\frac{q^2}{b^2} = \frac{p^2}{a^2} - 1 = \frac{p^2 - a^2}{a^2}$

$q^2 = \frac{b^2}{a^2}(p^2 - a^2)$

$q = \frac{b}{a} \sqrt{p^2 - a^2}$ ($q>0$)

したがって、$bp > aq$ が成り立つ。なぜなら、$b^2p^2 > a^2q^2 = b^2(p^2 - a^2)$ より $p^2 > p^2 - a^2$ が成立し、$a>0$, $b>0$, $p>0$, $q>0$ であるから。

よって、

$A = (\frac{a^2b}{bp + aq}, -\frac{ab^2}{bp + aq})$

$B = (\frac{a^2b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq})$

3. 最終的な答え

$A = (\frac{a^2b}{bp + aq}, -\frac{ab^2}{bp + aq})$

$B = (\frac{a^2b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq})$