与えられた行列に対して、逆行列を求める問題です。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた行列に対して、逆行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

各問題に対して逆行列を求めます。逆行列が存在しない場合は、その理由を述べます。

(1) O (ゼロ行列):

ゼロ行列は正則ではないため、逆行列は存在しません。理由：行列式が0であるため。

(2) E (単位行列):

単位行列の逆行列は単位行列自身です。

$E^{-1} = E$

(3) 正則な行列 A, B に対して、AB:

積の逆行列は、逆行列の順序を逆にした積になります。

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

(4) 正則な行列 A, B に対して、A + B:

A + B が与えられただけでは、逆行列は一般には求められません。具体的なAとBの情報が必要です。条件だけでは何もわからないと答えます。

(5) (1 2):

これは行列ではありません。1x2の行列なのか、2x1の行列なのか、あるいは他の意味なのか定義が曖昧です。したがって、逆行列を求めることはできません。

(6)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

これは 2x3 の行列であるため、正方行列ではありません。したがって逆行列は存在しません。

(7)

$A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

この行列は回転行列であり、逆行列は転置行列に等しくなります。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{pmatrix}$

(8) 2025:

これは行列ではありません。1x1行列と解釈した場合、$A = (2025)$ となります。逆行列は $A^{-1} = (1/2025)$

(9)

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

行列式は $3*5 - 4*1 = 15 - 4 = 11$

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

(10)

$A = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$

行列式は $4*9 - (-6)*(-6) = 36 - 36 = 0$

行列式が0なので、逆行列は存在しません。

(11)

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

1行目と3行目が同じなので行列式は0となり、逆行列は存在しません。

(12)

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

行列式を計算します。

$2(4*2 - 1*2) - (-1)(-3*2 - 1*(-1)) + 3(-3*2 - 4*(-1)) = 2(8-2) + 1(-6+1) + 3(-6+4) = 2*6 + 1*(-5) + 3*(-2) = 12 - 5 - 6 = 1$

余因子行列を計算します。

$C_{11} = 4*2 - 1*2 = 6$, $C_{12} = -(-3*2 - 1*(-1)) = 5$, $C_{13} = -3*2 - 4*(-1) = -2$

$C_{21} = -( -1*2 - 3*2) = 8$, $C_{22} = 2*2 - 3*(-1) = 7$, $C_{23} = -(2*2 - (-1)*(-1)) = -3$

$C_{31} = -1*1 - 3*4 = -13$, $C_{32} = -(2*1 - 3*(-3)) = -11$, $C_{33} = 2*4 - (-1)*(-3) = 5$

余因子行列は $\begin{pmatrix} 6 & 5 & -2 \\ 8 & 7 & -3 \\ -13 & -11 & 5 \end{pmatrix}$

転置余因子行列（adjugate行列）は$\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

逆行列は、$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 逆行列は存在しない (理由：ゼロ行列)

(2) $E^{-1} = E$

(3) $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

(4) 与えられた条件だけでは何もわからない

(5) 逆行列を求めることはできない (理由：行列ではない)

(6) 逆行列は存在しない (理由：正方行列ではない)

(7) $\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

(8) $(1/2025)$

(9) $\begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

(10) 逆行列は存在しない (理由：行列式が0)

(11) 逆行列は存在しない (理由：行列式が0)

(12) $\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$