関数 $f(x) = (2x+1)e^x$ のグラフの概形を描く問題です。ここで、$e$ は自然対数の底を表します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x+1)e^x$ のグラフの概形を描く問題です。ここで、$e$ は自然対数の底を表します。

2. 解き方の手順

グラフの概形を描くために、以下の手順で関数 $f(x)$ を解析します。

(1) 定義域:

関数 $f(x) = (2x+1)e^x$ は、すべての実数 $x$ に対して定義されます。

(2) 軸との交点:

- $x$軸との交点 ($y = 0$): $(2x+1)e^x = 0$ を解きます。$e^x > 0$ なので、$2x+1 = 0$ から $x = -\frac{1}{2}$ となります。よって、点$(-\frac{1}{2}, 0)$ で $x$ 軸と交わります。

- $y$軸との交点 ($x = 0$): $f(0) = (2(0)+1)e^0 = 1$ となります。よって、点$(0, 1)$ で $y$ 軸と交わります。

(3) 極値:

$f'(x)$ を計算し、極値を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx} [(2x+1)e^x] = 2e^x + (2x+1)e^x = (2x+3)e^x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します。$e^x > 0$ なので、$2x+3 = 0$ から $x = -\frac{3}{2}$ となります。

$x = -\frac{3}{2}$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるかを確認します。

- $x < -\frac{3}{2}$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > -\frac{3}{2}$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -\frac{3}{2}$ で極小値を持ちます。

$f(-\frac{3}{2}) = (2(-\frac{3}{2})+1)e^{-\frac{3}{2}} = (-3+1)e^{-\frac{3}{2}} = -2e^{-\frac{3}{2}}$

極小値は $(- \frac{3}{2}, -2e^{-\frac{3}{2}})$ です。

(4) 増減表

| x | ... | -3/2 | ... |

| ---- | -------------- | ------------- | -------------- |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 -2e^(-3/2) | 増加 |

(5) 極限:

- $\lim_{x \to \infty} (2x+1)e^x = \infty$

- $\lim_{x \to -\infty} (2x+1)e^x = 0$ (不定形なのでロピタルの定理を使うか、指数関数の方が多項式関数より強く 0 に収束する)

(6) グラフの概形:

上記の情報をもとに、グラフの概形を描きます。グラフは $x = -\frac{3}{2}$ で極小値を持ち、$x \to -\infty$ で $y \to 0$ に漸近し、$x \to \infty$ で $y \to \infty$ に発散します。

3. 最終的な答え

グラフの概形は以下のようになります。

- x軸との交点: $(-\frac{1}{2}, 0)$

- y軸との交点: $(0, 1)$

- 極小値: $(-\frac{3}{2}, -2e^{-\frac{3}{2}}) \approx (-1.5, -0.446)$

- $x \to -\infty$ で $y \to 0$ に漸近

- $x \to \infty$ で $y \to \infty$ に発散