7つの文字 a, b, c, d, e, f, g を1列に並べる。 (1) a, b, c のどれもが隣り合わない並べ方は何通りあるか。 (2) a, b, c の文字が、a が b より左、b が c より左に並ぶ並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

7つの文字 a, b, c, d, e, f, g を1列に並べる。

(1) a, b, c のどれもが隣り合わない並べ方は何通りあるか。

(2) a, b, c の文字が、a が b より左、b が c より左に並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) a, b, c が隣り合わない並べ方

まず、d, e, f, g の4つの文字を並べる。

これは 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 通り。

次に、a, b, c を d, e, f, g で作られた5つの隙間 (両端を含む) に並べる。

例えば、_ d _ e _ f _ g _ のように並べられる。

この5つの場所から3つを選んで、a, b, c を並べる。

並べる場所の選び方は、5P3 = 5 * 4 * 3 = 60 通り。

したがって、並べ方の総数は、24 * 60 = 1440 通り。

(2) a, b, c の文字が、a が b より左、b が c より左に並ぶ並べ方

7つの文字を並べる総数は 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 通り。

a, b, c の並び順は、a, b, c ; a, c, b ; b, a, c ; b, c, a ; c, a, b ; c, b, a の6通りがある。

このうち、a が b より左、b が c より左になるのは、a, b, c の1通りだけである。

したがって、求める並べ方は、7! / 3! = 5040 / 6 = 840 通り。

あるいは、7個の場所からa,b,cの場所を3つ選ぶ選び方が$\binom{7}{3}$通り。

残り4つの場所をd,e,f,gで埋める方法が4!通り。

よって$\binom{7}{3} \times 4! = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} \times 4\times3\times2\times1 = 35 \times 24 = 840$通り。

3. 最終的な答え

(1) 1440 通り

(2) 840 通り