1g, 2g, 3g の分銅をそれぞれ少なくとも1つずつ用いて、合計11gを量る時、分銅の個数の組み合わせは何通りあるかを求める問題。

1. 問題の内容

1g, 2g, 3g の分銅をそれぞれ少なくとも1つずつ用いて、合計11gを量る時、分銅の個数の組み合わせは何通りあるかを求める問題。

2. 解き方の手順

1gの分銅の個数を $x$, 2gの分銅の個数を $y$, 3gの分銅の個数を $z$ とすると、$x, y, z$ は自然数で、次の式が成り立つ。

$x + 2y + 3z = 11$

$x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$。

係数が最も大きい $z$ の値で場合分けして考える。

* $z = 1$ のとき:

$x + 2y + 3 = 11$

$x + 2y = 8$

$x = 8 - 2y$

$x \geq 1$ より、$8 - 2y \geq 1$

$2y \leq 7$

$y \leq 3.5$

$y \geq 1$ より、$y = 1, 2, 3$

* $y = 1$ のとき、$x = 8 - 2(1) = 6$。$(x, y, z) = (6, 1, 1)$

* $y = 2$ のとき、$x = 8 - 2(2) = 4$。$(x, y, z) = (4, 2, 1)$

* $y = 3$ のとき、$x = 8 - 2(3) = 2$。$(x, y, z) = (2, 3, 1)$

* $z = 2$ のとき:

$x + 2y + 6 = 11$

$x + 2y = 5$

$x = 5 - 2y$

$x \geq 1$ より、$5 - 2y \geq 1$

$2y \leq 4$

$y \leq 2$

$y \geq 1$ より、$y = 1, 2$

* $y = 1$ のとき、$x = 5 - 2(1) = 3$。$(x, y, z) = (3, 1, 2)$

* $y = 2$ のとき、$x = 5 - 2(2) = 1$。$(x, y, z) = (1, 2, 2)$

* $z = 3$ のとき:

$x + 2y + 9 = 11$

$x + 2y = 2$

$x = 2 - 2y$

$x \geq 1$ より、$2 - 2y \geq 1$

$2y \leq 1$

$y \leq 0.5$

$y \geq 1$を満たす $y$ は存在しない。

したがって、$(x, y, z)$ の組み合わせは、(6, 1, 1), (4, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (1, 2, 2) の5通り。

3. 最終的な答え

5通り