$n$次正方行列 $A = [a_{ij}]$ が、すべての $j (j = 1, 2, ..., n)$ に対して $\sum_{i=1}^{n} i^2 a_{ij} = 0$ を満たすとき、$A$ が正則行列でないことを示す。

1. 問題の内容

$n$次正方行列 $A = [a_{ij}]$ が、すべての $j (j = 1, 2, ..., n)$ に対して $\sum_{i=1}^{n} i^2 a_{ij} = 0$ を満たすとき、$A$ が正則行列でないことを示す。

2. 解き方の手順

$A$ が正則行列でないことを示すには、$\det(A) = 0$ を示せばよい。もしくは、$A$の列ベクトルが線形従属であることを示してもよい。

与えられた条件は、

$$\sum_{i=1}^{n} i^2 a_{ij} = 0 \quad (j = 1, 2, ..., n)$$

である。これは、行列 $A$ の各列ベクトル $a_j = \begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{bmatrix}$ に対して、

$$1^2 a_{1j} + 2^2 a_{2j} + \cdots + n^2 a_{nj} = 0$$

が成り立つことを意味する。

ここで、ベクトル $v = \begin{bmatrix} 1^2 \\ 2^2 \\ \vdots \\ n^2 \end{bmatrix}$ を考えると、上の式は

$$v \cdot a_j = 0 \quad (j = 1, 2, ..., n)$$

と書ける。つまり、ベクトル $v$ は行列 $A$ のすべての列ベクトルと直交する。

いま、$A$ が正則であると仮定すると、$A$ の列ベクトルは線形独立である。したがって、$A$の列ベクトルは$\mathbb{R}^n$の基底をなす。このとき、任意のベクトルは$A$の列ベクトルの線形結合で表せる。特に、$v$も$A$の列ベクトルの線形結合で表せるはずである。すなわち、

$$v = c_1 a_1 + c_2 a_2 + \cdots + c_n a_n$$

となるスカラー $c_1, c_2, ..., c_n$ が存在する。

両辺に$v$を内積すると、

$$v \cdot v = v \cdot (c_1 a_1 + c_2 a_2 + \cdots + c_n a_n) = c_1 (v \cdot a_1) + c_2 (v \cdot a_2) + \cdots + c_n (v \cdot a_n)$$

となる。ここで、$v \cdot a_j = 0$ より、

$$v \cdot v = 0$$

である。しかし、$v = \begin{bmatrix} 1^2 \\ 2^2 \\ \vdots \\ n^2 \end{bmatrix}$ であるから、$v \cdot v = (1^2)^2 + (2^2)^2 + \cdots + (n^2)^2 = \sum_{i=1}^{n} i^4 > 0$ であり、$v \cdot v = 0$ と矛盾する。

したがって、$A$ は正則ではない。

3. 最終的な答え

$A$は正則行列ではない。