$n$次上三角行列$A$の対角成分のうち0でないものの個数を$k$とするとき、$\text{rank} \ A \geq k$であることを示し、さらに$k = n-1$および$k = n$の場合に$\text{rank} \ A = k$であることを示す。

1. 問題の内容

$n$次上三角行列$A$の対角成分のうち0でないものの個数を$k$とするとき、$\text{rank} \ A \geq k$であることを示し、さらに$k = n-1$および$k = n$の場合に$\text{rank} \ A = k$であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\text{rank} \ A \geq k$を示す。

上三角行列$A$の対角成分が0でないものの個数が$k$であるとき、対角成分が0でない列を抽出する。これらの$k$個の列は線形独立である。

なぜなら、これらの列のうちの任意の1つを他の列の線形結合で表すことができないからである。

したがって、行列$A$の階数（rank）は少なくとも$k$以上である。

つまり、$\text{rank} \ A \geq k$となる。

(2) $k = n$の場合に$\text{rank} \ A = k = n$を示す。

$k = n$の場合、上三角行列$A$の対角成分はすべて0でない。

このとき、$A$の行列式は対角成分の積であり、それは0ではない。したがって、$A$は正則行列であり、$\text{rank} \ A = n = k$である。

(3) $k = n-1$の場合に$\text{rank} \ A = k = n-1$を示す。

$k = n-1$の場合、$A$の対角成分のうち1つが0であり、残りの$n-1$個は0ではない。

$A$の対角成分が0である列を$j$列目とする。

このとき、$A$の$j$列目を除いた$n-1$個の列は線形独立である。

したがって、$\text{rank} \ A \geq n-1$である。

一方で、$\text{det} \ A = 0$であるから、$A$は正則ではなく、$\text{rank} \ A < n$である。

したがって、$\text{rank} \ A = n-1 = k$である。

3. 最終的な答え

$n$次上三角行列$A$の対角成分のうち0でないものの個数を$k$とするとき、$\text{rank} \ A \geq k$である。

また、$k = n-1$の場合、$\text{rank} \ A = n-1 = k$である。

$k = n$の場合、$\text{rank} \ A = n = k$である。