関数 $f(x) = e^{2x} - 5e^x + 3$ について、以下の問いに答えます。 1. 一次導関数 $f'(x)$ と二次導関数 $f''(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{2x} - 5e^x + 3$ について、以下の問いに答えます。

1. 一次導関数 $f'(x)$ と二次導関数 $f''(x)$ を求めます。

2. 一次導関数を用いて、関数 $f(x)$ の増減区間を求めます。

3. 二次導関数を用いて、関数 $f(x)$ の極値の種類（極大、極小）を判定し、極値の座標を求めます。

4. 関数 $f(x)$ のグラフの形状を簡潔に説明し、その特徴を述べます。

2. 解き方の手順

1. 一次導関数と二次導関数の計算

* 一次導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x} - 5e^x + 3) = 2e^{2x} - 5e^x$

* 二次導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = \frac{d}{dx}(2e^{2x} - 5e^x) = 4e^{2x} - 5e^x$

2. 増減区間の計算

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2e^{2x} - 5e^x = 0$

$e^x(2e^x - 5) = 0$

$e^x > 0$ なので、$2e^x - 5 = 0$

$e^x = \frac{5}{2}$

$x = \ln(\frac{5}{2})$

* $f'(x)$ の符号を調べます。

* $x < \ln(\frac{5}{2})$ のとき、$e^x < \frac{5}{2}$ なので、$2e^x - 5 < 0$。よって、$f'(x) < 0$。

* $x > \ln(\frac{5}{2})$ のとき、$e^x > \frac{5}{2}$ なので、$2e^x - 5 > 0$。よって、$f'(x) > 0$。

* 増減表を書きます。

| x | ... | ln(5/2) | ... |

| ------------------- | ------------------------- | ------------------------- | ------------------------- |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 |

3. 極値の計算

* $f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4e^{2x} - 5e^x = 0$

$e^x(4e^x - 5) = 0$

$e^x > 0$ なので、$4e^x - 5 = 0$

$e^x = \frac{5}{4}$

$x = \ln(\frac{5}{4})$

* $x = \ln(\frac{5}{2})$ における $f''(x)$ の値を調べます。

$f''(\ln(\frac{5}{2})) = 4e^{2\ln(\frac{5}{2})} - 5e^{\ln(\frac{5}{2})} = 4(\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) = 4(\frac{25}{4}) - \frac{25}{2} = 25 - \frac{25}{2} = \frac{25}{2} > 0$

* したがって、$x = \ln(\frac{5}{2})$ で極小値を持ちます。

極小値 $f(\ln(\frac{5}{2})) = e^{2\ln(\frac{5}{2})} - 5e^{\ln(\frac{5}{2})} + 3 = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) + 3 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 3 = \frac{25 - 50 + 12}{4} = \frac{-13}{4}$

極小値の座標は $(\ln(\frac{5}{2}), -\frac{13}{4})$

4. グラフの形状と特徴

* $x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to 3$

* $x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$

* $y$切片は $f(0) = e^0 - 5e^0 + 3 = 1 - 5 + 3 = -1$

* $f(x)$ は $x = \ln(\frac{5}{2})$ で極小値 $-\frac{13}{4}$ をとります。

* グラフは、$x$ が小さいとき、$y=3$ に漸近し、$x$ が大きくなると急激に増加する曲線です。

3. 最終的な答え

1. $f'(x) = 2e^{2x} - 5e^x$, $f''(x) = 4e^{2x} - 5e^x$

2. 増加区間: $(\ln(\frac{5}{2}), \infty)$, 減少区間: $(-\infty, \ln(\frac{5}{2}))$

3. 極小値: $(\ln(\frac{5}{2}), -\frac{13}{4})$

4. $x$ が小さいとき $y=3$ に漸近し、$x$ が大きくなると急激に増加するグラフ。$y$切片は $-1$。$x = \ln(\frac{5}{2})$ で極小値 $-\frac{13}{4}$ をとる。