底面の半径が12cm、高さが16cmの円柱の容器に水が一杯に入っている。この容器に球を入れたところ、水がこぼれて球の一部だけが容器に入った。球が容器の上部から4cmの深さまで入ったとき、球の半径を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が12cm、高さが16cmの円柱の容器に水が一杯に入っている。この容器に球を入れたところ、水がこぼれて球の一部だけが容器に入った。球が容器の上部から4cmの深さまで入ったとき、球の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、こぼれた水の体積を計算する。これは球が沈んだことによって押し出された水の体積であり、球の体積の一部に相当する。

こぼれた水の体積は、半径12cm、高さ4cmの円柱の体積に等しい。

円柱の体積の公式は $V = \pi r^2 h$ である。ここで、$r$ は円柱の底面の半径、$h$ は高さ。

したがって、こぼれた水の体積 $V_{water}$ は、

$V_{water} = \pi (12)^2 (4) = 576\pi$ 立方センチメートル。

次に、球の半径を $R$ とすると、球の上部から4cm沈んだ時の球の体積は、球の冠の体積として計算できる。球の冠の体積の公式は $V_{cap} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h)$ である。

ここで、$h$ は球の冠の高さであり、問題文より $h = 4$ cm。

こぼれた水の体積は、球の冠の体積に等しいので、

$V_{water} = V_{cap}$

$576\pi = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (3R - 4)$

$576 = \frac{1}{3} (16) (3R - 4)$

$576 = \frac{16}{3} (3R - 4)$

両辺に $\frac{3}{16}$ を掛けると、

$576 \times \frac{3}{16} = 3R - 4$

$108 = 3R - 4$

$112 = 3R$

$R = \frac{112}{3}$

3. 最終的な答え

球の半径は $\frac{112}{3}$ cmである。