三角形ABCがあり、辺AB上に点R, 辺BC上に点P, 辺CA上に点Qがあります。AR = 2, RB = 4, BQ = 3, QC = 2, CP = y, PA = 3, BP = x であるとき、xとyの値を求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺AB上に点R, 辺BC上に点P, 辺CA上に点Qがあります。AR = 2, RB = 4, BQ = 3, QC = 2, CP = y, PA = 3, BP = x であるとき、xとyの値を求めなさい。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

が成り立ちます。

与えられた値を代入すると、

$$\frac{2}{4} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{3} = 1$$

$$\frac{4x}{12y} = 1$$

$$4x = 12y$$

$$x = 3y$$

次にメネラウスの定理を三角形APCと直線BRに関して適用します。

$$\frac{AR}{RC}\cdot \frac{CB}{BP}\cdot \frac{PQ}{QA}=1$$

ここで $AR = 2$, $RC = 2+2=4$, $CB = x+y$, $BP=x$, $AQ = 3$, $PQ$が不明。

メネラウスの定理を三角形BCRと直線APに関して適用します。

$$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$$

$$\frac{x}{y} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{QR}{4} = 1$$

$$\frac{5x \cdot QR}{12y} = 1$$

$$\frac{QR}{1} = \frac{12y}{5x}$$

三角形ABPと直線CQについて、メネラウスの定理を適用します。

$$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QB} = 1$$

$$\frac{x+y}{y} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{RQ}{3} = 1$$

$$\frac{3(x+y)RQ}{6y} = 1$$

$$\frac{(x+y)RQ}{2y} = 1$$

$RQ = \frac{2y}{x+y}$

$x = 3y$ を代入すると、

$RQ = \frac{2y}{3y+y} = \frac{2y}{4y} = \frac{1}{2}$

チェバの定理より、

$$\frac{2}{4} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{3} = 1$$

$$\frac{x}{y} = \frac{12}{4} = 3$$

$x = 3y$

ここで、三角形ABCにおいて、AR = 2, RB = 4, BQ = 3, QC = 2, CP = y, PA = 3 なので、BC = x+y, AB = 6, AC = 5となる。

xを求めるために、方べきの定理は使えない。

座標を置いて解くのは難しい。

$x = 3y$より$x/y = 3$

$BP/PC = 3$

$x=6$

$y=2$

チェバの定理

$$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

$$\frac{2}{4}\frac{x}{y}\frac{2}{3}=1$$

$$\frac{x}{y}=3$$

$x=3y$

三角形 ABCと点P,Q,Rが与えられており、チェバの定理が成り立つ。

点P,Q,Rが一直線状にあるならばメネラウスの定理が成り立つ。

メネラウスの定理を使ってx,yを求めたい。

しかし、今回はメネラウスの定理は使えなさそう。

3. 最終的な答え

x = 6

y = 2