平行四辺形ABCDにおいて、辺DA, BCの延長線上にそれぞれ点E, FをAE=CFとなるようにとる。点E, Fから辺AB, CDにそれぞれ垂線EP, FQをひくとき、AP=CQであることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺DA, BCの延長線上にそれぞれ点E, FをAE=CFとなるようにとる。点E, Fから辺AB, CDにそれぞれ垂線EP, FQをひくとき、AP=CQであることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形の性質を利用して、証明に必要な条件を導き出す。

* 平行四辺形の対辺は平行なので、AB//CDである。したがって、錯角は等しいので、$\angle E = \angle F$ が成り立つ。

* 平行四辺形の対辺は等しいので、$AD = BC$ が成り立つ。

* 仮定より、$AE = CF$ が成り立つ。

次に、$\triangle APE$と$\triangle CQF$に着目し、合同条件を満たすことを示す。

* $\angle APE = \angle CQF = 90^\circ$ (仮定)

* $\angle E = \angle F$ (AB//CDより、錯角が等しい)

* $AE = CF$ (仮定)

したがって、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、$\triangle APE \equiv \triangle CQF$ となる。

合同な図形では、対応する辺の長さは等しいので、$AP = CQ$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

AP=CQである。

(証明)

平行四辺形ABCDにおいて、

AB//CDより、$\angle E = \angle F$

仮定より、$AE = CF$、$\angle APE = \angle CQF = 90^\circ$

よって、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、$\triangle APE \equiv \triangle CQF$

したがって、$AP = CQ$

(証明終わり)